حاسبة نظرية فيثاغورس

ابحث عن أي جانب من المثلث الأيمن على الفور

تعتبر نظرية فيثاغورس واحدة من أكثر النتائج المفيدة والمعروفة على نطاق واسع في جميع الرياضيات. بالنسبة لأي مثلث قائم الزاوية - مثلث به زاوية واحدة تساوي 90 درجة بالضبط - فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين. تتيح لك هذه الآلة الحاسبة العثور على أي جانب من الجوانب الثلاثة عندما تعرف الجانبين الآخرين.

الملاحة وحساب الموتى

قبل وجود تحديد المواقع عبر الأقمار الصناعية، اعتمد الملاحون على الحساب الميت - حساب الموقع الحالي من نقطة بداية معروفة، والاتجاه، والسرعة، والوقت المنقضي. تغطي السفينة أو الطائرة التي تسافر شمالًا وشرقًا في الوقت نفسه مسارًا قطريًا، وإيجاد مسافة الخط المستقيم المغطاة فعليًا من المكونات الشمالية والشرقية المنفصلة هو تطبيق مباشر وعملي لنفس النظرية المستخدمة هنا.

الصيغة

العبارة الكلاسيكية هي a² + b² = c²، حيث a وb هما الضلعان الأقصر (يُطلق عليهما الأرجل) وc هو الوتر — وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو دائمًا الضلع الأطول. لإيجاد الوتر: c = √(a² + b²). للعثور على ساق: أ = √(ج² − ب²).

كيفية استخدام الآلة الحاسبة

أدخل أي قيمتين من القيم الثلاث — الضلع أ، والضلع ب، والوتر ج — واترك القيمة الثالثة فارغة. تكتشف الأداة القيمة المفقودة وتحسبها تلقائيًا. على سبيل المثال، أدخل 3 في الضلع أ و4 في الضلع ب، وستقوم الآلة الحاسبة على الفور بإرجاع 5 للوتر، مما يؤكد المثلث القائم الشهير 3-4-5. أو أدخل 5 في الوتر و3 في الجانب أ، وستُرجع 4 للضلع ب.

لماذا يعمل فقط للمثلثات القائمة؟

إن تقييد النظرية بالمثلثات القائمة ليس أمرًا تقنيًا بسيطًا، بل هو السبب الكامل وراء نظافة العلاقة. بالنسبة لأي مثلث آخر، فإن العلاقة بين الأضلاع الثلاثة تتضمن جيب تمام إحدى الزوايا، وهي نتيجة أكثر عمومية تسمى قانون جيب التمام، والذي يتم اختزاله إلى صيغة فيثاغورس البسيطة فقط في الحالة الخاصة حيث تكون تلك الزاوية 90 درجة تمامًا وبالتالي يكون جيب تمامها صفرًا. من المفيد معرفة ذلك قبل محاولة تطبيق هذه الآلة الحاسبة على مثلث ليس مثلثًا قائمًا بالفعل، لأن القيام بذلك سيؤدي بصمت إلى إنتاج رقم لا معنى له بدلاً من تحذير مفيد.

تطبيقات عملية

البناء والنجارة: يعد التأكد من أن الزاوية مربعة (زاوية قائمة حقيقية) أحد الاستخدامات الأكثر شيوعًا لنظرية فيثاغورس في العمل البدني. الطريقة الكلاسيكية 3-4-5 - قياس 3 وحدات على طول جدار واحد، و4 وحدات على طول الجدار المجاور، والتحقق من أن القياس القطري 5 وحدات - تم استخدامها من قبل البنائين منذ آلاف السنين. تقوم الآلة الحاسبة بتعميم ذلك على أي قياسات.

أحجام الشاشة وشاشات العرض: عندما تعلن الشركات المصنعة عن جهاز تلفزيون أو شاشة حسب الحجم القطري للشاشة، فإنها تعطي الوتر للمستطيل الذي يتكون من عرض الشاشة وارتفاعها. إذا كنت تعرف القطر ونسبة العرض إلى الارتفاع، فإن نظرية فيثاغورس تتيح لك العثور على العرض والارتفاع الفعليين.

حسابات المسافة: على سطح مستو، مسافة الخط المستقيم بين نقطتين بإحداثيات (x₁, y₁) و (x₂, y₂) هي √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)، تطبيق مباشر للنظرية.

الهندسة والمساحة: حساب طول دعامة قطرية، أو خط سقف مائل، أو كابل يمتد بين نقطتين على ارتفاعات مختلفة، كلها تؤدي إلى نفس علاقة المثلث القائم، مما يجعل النظرية واحدة من أكثر الأدوات استخدامًا في التخطيط الإنشائي.

أحجام الشاشة، وعملت سبيل المثال

عندما تعلن إحدى الشركات المصنعة عن "تلفزيون 55 بوصة"، فإن هذا الرقم هو القطر - الوتر للمستطيل الذي يتكون من عرض الشاشة وارتفاعها - وليس العرض أو الارتفاع وحدهما، وهو مصدر شائع للارتباك بالنسبة للمشترين لأول مرة. بالاشتراك مع نسبة العرض إلى الارتفاع للشاشة، عادةً 16:9 لأجهزة التلفزيون الحديثة، تتيح لك نظرية فيثاغورس استعادة العرض والارتفاع الفعليين: بالنسبة لشاشة 16:9، يكون العرض والارتفاع بنفس نسبة 16:9، لذا فإن قطر 55 بوصة يبلغ عرضه 48 بوصة تقريبًا وطوله 27 بوصة، وهي أرقام تستحق التحقق من المساحة المتاحة على الحائط أو الخزانة قبل الشراء بدلاً من افتراض أن القطر وحده يحكي القصة بأكملها.

السياق التاريخي

سُميت النظرية على اسم فيثاغورس ساموس، عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني القديم الذي عاش حوالي 570-495 قبل الميلاد، على الرغم من أن العلاقة كانت معروفة لعلماء الرياضيات البابليين والهنود قبل قرون. تسرد الألواح البابلية التي تعود إلى عام 1800 قبل الميلاد تقريبًا ثلاثيات فيثاغورس - مجموعات من ثلاثة أرقام صحيحة تلبي النظرية - قبل وقت طويل من ولادة فيثاغورس.

ثلاثية فيثاغورس

بعض المجموعات المكونة من ثلاثة أرقام صحيحة تحقق a² + b² = c² تمامًا، بدون تقريب على الإطلاق، وتسمى هذه الثلاثيات فيثاغورس. المثلث 3-4-5 هو الأصغر والأكثر شهرة، ولكن هناك عددًا لا نهائيًا من المثلثات الأخرى: 5-12-13، و8-15-17، و7-24-25 كلها مثلثات صحيحة متساوية العدد. إن ضرب كل جانب من ثلاثية معروفة بنفس العامل ينتج ثلاثية صحيحة أخرى - 3-4-5 مقاسة بـ 2 تعطي 6-8-10 - وهذا هو بالضبط السبب وراء استمرار طريقة النجارة الكلاسيكية 3-4-5 في العمل على أي مقياس، سواء كنت تربيع رفًا صغيرًا أو زاوية مبنى بأكمله.

خاصة وفورية

يتم تشغيل جميع الحسابات بالكامل في متصفحك، لذلك يظهر الجانب المفقود فور إدخالك للجانبين الآخرين ولا يتم إرسال أي قياسات تكتبها إلى الخادم، أو يتم تسجيلها أو مشاركتها، ويعمل دون اتصال بمجرد تحميل الصفحة.